Flytting Gjennomsnitt Orden Q

Flytte gjennomsnittlig - MA BREAKING DOWN Moving Average - MA Som et SMA-eksempel, vurder en sikkerhet med følgende lukkepriser over 15 dager: Uke 1 (5 dager) 20, 22, 24, 25, 23 Uke 2 (5 dager) 26, 28, 26, 29, 27 Uke 3 (5 dager) 28, 30, 27, 29, 28 En 10-dagers MA ville gjennomsnittlig sluttprisene de første 10 dagene som det første datapunktet. Det neste datapunktet vil slippe den tidligste prisen, legge til prisen på dag 11 og ta gjennomsnittet, og så videre som vist nedenfor. Som nevnt tidligere lagrer MAs nåværende prishandling fordi de er basert på tidligere priser, jo lengre tidsperioden for MA, desto større er lagret. Dermed vil en 200-dagers MA ha en mye større grad av forsinkelse enn en 20-dagers MA fordi den inneholder priser for de siste 200 dagene. Lengden på MA å bruke, avhenger av handelsmålene, med kortere MA'er som brukes til kortvarig handel og langsiktig MAs som er mer egnet for langsiktige investorer. 200-dagers MA er mye etterfulgt av investorer og forhandlere, med brudd over og under dette bevegelige gjennomsnittet regnes som viktige handelssignaler. MAs gir også viktige handelssignaler på egen hånd, eller når to gjennomsnitt overgår. En stigende MA indikerer at sikkerheten er i en uptrend. mens en fallende MA indikerer at den er i en downtrend. På samme måte er oppadgående momentum bekreftet med en bullish kryssovergang. som oppstår når en kortsiktig MA krysser over en langsiktig MA. Nedadgående momentum er bekreftet med en bearish crossover, som oppstår når en kortsiktig MA krysser under en lengre sikt MA. Autoregressive Moving Average ARMA (p, q) Modeller for Time Series Analysis - Del 2 I del 1 vurderte vi den autoregressive modellen av ordre p, også kjent som AR (p) - modellen. Vi introduserte det som en forlengelse av den tilfeldige turmodellen i et forsøk på å forklare ekstra seriell korrelasjon i økonomiske tidsserier. Til syvende og sist innså vi at det ikke var tilstrekkelig fleksibelt å virkelig fange all autokorrelasjon i sluttkursene til Amazon Inc. (AMZN) og SampP500 US Equity Index. Den primære årsaken til dette er at begge disse eiendelene er betinget heteroskedastiske. som betyr at de er ikke-stasjonære og har perioder med varierende varians eller volatilitetsklynging, som ikke tas i betraktning av AR (p) - modellen. I fremtidige artikler vil vi etter hvert bygge opp til de autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) modellene, samt de betingelsesrik heteroskedastiske modellene til ARCH og GARCH-familiene. Disse modellene vil gi oss våre første realistiske forsøk på å prognostisere eiendomspriser. I denne artikkelen skal vi imidlertid introdusere Moving Average of Order q-modellen, kjent som MA (q). Dette er en del av den mer generelle ARMA-modellen, og som sådan må vi forstå det før vi går videre. Jeg anbefaler at du leser de forrige artiklene i Time Series Analysis-samlingen hvis du ikke har gjort det. De kan alle bli funnet her. Moving Average (MA) Modeller av rekkefølge q En Moving Average-modell ligner en Autoregressiv modell, bortsett fra at i stedet for å være en lineær kombinasjon av tidligere tidsserier, er det en lineær kombinasjon av tidligere hvite lydvilkår. Intuitivt betyr dette at MA-modellen ser slike tilfeldige hvite støysjokk direkte ved hver nåværende verdi av modellen. Dette er i kontrast til en AR (p) modell, hvor de hvite støychockene bare ses indirekte. via regresjon på tidligere vilkår i serien. En viktig forskjell er at MA-modellen bare vil se de siste q-sjokkene for en bestemt MA (q) modell, mens AR (p) - modellen tar hensyn til alle tidligere sjokk, om enn i svakt svak måte. Definisjon Matematisk er MA (q) en lineær regresjonsmodell og er strukturert på AR (p): Flytende Gjennomsnittlig Modell av ordre q En tidsseriemodell,, er en bevegelig gjennomsnittsordre av rekkefølge q. MA (q), hvis: begynn xt wt beta1 w ldots betaq w end Hvor er hvit støy med E (wt) 0 og varians sigma2. Hvis vi vurderer Backward Shift Operator. (se en tidligere artikkel), så kan vi omskrive ovennevnte som en funksjon phi av: start xt (1 beta1 beta2 2 ldots betaq q) wt phiq () wt end Vi vil benytte phi-funksjonen i senere artikler. Andre ordreegenskaper Som med AR (p) er gjennomsnittet av en MA (q) prosess null. Dette er lett å se som den gjennomsnittlige er ganske enkelt en sum av midler av hvite støyvilkår, som alle er selv null. begynn tekst enspace mux E (xt) sum E (wi) 0 slutt begynn tekst enspace sigma2w (1 beta21 ldots beta2q) slutttekst enspace rhok venstre 1 tekst enspace k 0 sum betai beta sumq beta2i tekst enspace k 1, ldots, q 0 tekst enspace k gt q ende høyre. Hvor beta0 1. Var nå å generere noen simulerte data og bruke den til å lage korrelogrammer. Dette vil gjøre ovennevnte formel for rhok noe mer konkret. Simuleringer og korrelogrammer Lar oss starte med en MA (1) prosess. Hvis vi stiller beta1 0,6, får vi følgende modell: Som med AR (p) modellene i forrige artikkel kan vi bruke R til å simulere en slik serie og deretter plotte korrelogrammet. Siden weve hadde mye øvelse i den tidligere Time Series Analysis-artikkelserien med å utføre plott, vil jeg skrive R-koden i sin helhet, i stedet for å splitte den opp: Utgangen er som følger: Som vi så over i formelen for rhok , for k gt q, bør alle autokorrelasjoner være null. Siden q 1 skal vi se en betydelig topp på k1 og deretter ubetydelige topper etter det. På grunn av prøvetrykkspenning bør vi imidlertid forvente å se 5 (marginalt) signifikante topper på en prøveautokorrelasjonsplott. Dette er akkurat hva korrelogrammet viser oss i dette tilfellet. Vi har en betydelig topp på k1 og deretter ubetydelige topper for k gt 1, bortsett fra ved k4 hvor vi har en marginalt betydelig topp. Faktisk er dette en nyttig måte å se om en MA (q) - modell er passende. Ved å se på korrelogrammet til en bestemt serie kan vi se hvor mange sekvensielle ikke-nulllag som finnes. Hvis q slike lag eksisterer, kan vi legitimt forsøke å passe en MA (q) modell til en bestemt serie. Siden vi har bevis fra våre simulerte data om en MA (1) prosess, skulle vi nå prøve å passe en MA (1) modell til våre simulerte data. Dessverre er det ikke en ekvivalent ma-kommando til kommandoen for autoregressiv modell ar i R. I stedet må vi bruke den mer generelle arima-kommandoen og sette de autoregressive og integrerte komponentene til null. Vi gjør dette ved å lage en 3-vektor og sette de to første komponentene (henholdsvis de autogressive og integrerte parametrene) til null: Vi mottar noen nyttige resultater fra arima-kommandoen. For det første kan vi se at parameteren er estimert som hat 0.602, som ligger svært nær den ekte verdien av beta1 0,6. For det andre er standardfeilene allerede beregnet for oss, noe som gjør det enkelt å beregne konfidensintervall. For det tredje mottar vi en estimert varians, loggbarhet og Akaike Information Criterion (nødvendig for modell sammenligning). Den store forskjellen mellom arima og ar er at arima anslår en avkortingsperiode fordi den ikke subtraherer middelverdien av serien. Derfor må vi være forsiktige når vi utfører spådommer ved hjelp av arima-kommandoen. Vel gå tilbake til dette punktet senere. Som en rask sjekk skulle beregne konfidensintervaller for lue: Vi kan se at 95 konfidensintervallet inneholder den ekte parameterverdien av beta1 0,6, og så kan vi dømme modellen en god passform. Selvfølgelig bør dette forventes siden vi simulerte dataene i utgangspunktet. Hvordan endrer tingene hvis vi endrer tegnet på beta1 til -0.6 Lar oss utføre samme analyse: Utgangen er som følger: Vi kan se at på k1 har vi en signifikant topp i korrelogrammet, bortsett fra at det viser negativ korrelasjon, som vi forventer av en MA (1) modell med negativ første koeffisient. Igjen er alle toppene utenfor k1 ubetydelige. Lar passe en MA (1) modell og estimere parameteren: hat -0.730, som er et lite underestimat av beta1 -0.6. Endelig kan vi beregne konfidensintervallet: Vi kan se at den sanne parameterverdien av beta1-0.6 er inneholdt i 95-konfidensintervallet, og gir oss bevis for god modellpassasje. Lar oss gjennomgå samme prosedyre for en MA (3) prosess. Denne gangen bør vi forvente betydelige topper ved k og ubetydelige topper for k gt 3. Vi skal bruke følgende koeffisienter: beta1 0,6, beta2 0,4 og beta3 0,2. Lar simulere en MA (3) prosess fra denne modellen. Ive økte antall tilfeldige prøver til 1000 i denne simuleringen, noe som gjør det lettere å se den sanne autokorrelasjonsstrukturen på bekostning av å gjøre den opprinnelige serien vanskeligere å tolke: Produksjonen er som følger: Som forventet er de tre første toppene signifikante . Men så er den fjerde. Men vi kan legitimt foreslå at dette kan skyldes prøvetrykk som vi forventer å se at 5 av toppene er signifikante utover kq. Lar oss nå passe en MA (3) modell til dataene for å prøve å estimere parametere: Estimatene hatten 0.544, hatten 0.345 og hatten 0.298 er nær de ekte verdiene henholdsvis beta10.6, beta20.4 og beta30.3. Vi kan også produsere konfidensintervaller ved hjelp av de respektive standardfeilene: I hvert tilfelle inneholder 95 konfidensintervallene den ekte parameterverdien, og vi kan konkludere med at vi har en god passform med vår MA (3) modell, som det forventes. Finansielle data I del 1 betraktet vi Amazon Inc. (AMZN) og SampP500 US Equity Index. Vi monterte AR (p) - modellen til begge, og fant ut at modellen ikke kunne effektivt fange kompleksiteten til seriell korrelasjon, særlig i støpningen av SampP500, hvor langminnede effekter synes å være til stede. Jeg vil ikke plotte diagrammerne igjen for priser og autokorrelasjon, i stedet jeg henviser til forrige innlegg. Amazon Inc. (AMZN) Lets begynne med å prøve å passe et utvalg av MA (q) modeller til AMZN, nemlig med q in. Som i del 1, bruk godt quantmod for å laste ned de daglige prisene for AMZN og konverter dem deretter til en logg returnert strøm av avsluttende priser: Nå som vi har loggen returnerer strømmen, kan vi bruke arima-kommandoen til å passe MA (1), MA (2) og MA (3) modeller og deretter estimere parametrene for hver. For MA (1) har vi: Vi kan plotte resterne av den daglige loggen og den monterte modellen: Legg merke til at vi har noen signifikante topper ved lag k2, k11, k16 og k18, som indikerer at MA (1) modellen er usannsynlig å være en god form for oppførelsen av AMZN-loggen, siden dette ikke ser ut som en realisering av hvit støy. La oss prøve en MA (2) modell: Begge estimatene for beta-koeffisientene er negative. Lar plotte residualene igjen: Vi kan se at det er nesten null autokorrelasjon i de første lagene. Imidlertid har vi fem marginalt signifikante topper ved lag k12, k16, k19, k25 og k27. Dette er tydelig at MA (2) - modellen tar stor del av autokorrelasjonen, men ikke alle langminnede effekter. Hva med en MA (3) modell Igjen kan vi plotte residuene: MA (3) residualplottet ser nesten ut som det i MA (2) modellen. Dette er ikke overraskende, som det var å legge til en ny parameter i en modell som tilsynelatende har forklart bort mye av korrelasjonene med kortere lag, men det vil ikke ha mye effekt på lengre sikt. Alt dette beviset tyder på at en MA (q) modell er usannsynlig å være nyttig for å forklare hele seriekorrelasjonen i isolasjon. i hvert fall for AMZN. SampP500 Hvis du husker, i del 1 så vi at den første rekkefølgen avviket daglig logg returnerer strukturen til SampP500 hadde mange signifikante topper i ulike lag, både korte og lange. Dette ga bevis for både betinget heteroskedastisitet (dvs. volatilitetsklynging) og langminneseffekter. Det fører oss til å konkludere med at AR (p) modellen ikke var tilstrekkelig til å fange all autokorrelasjon til stede. Som vi har sett ovenfor, var MA (q) - modellen utilstrekkelig til å fange ytterligere seriell korrelasjon i residualene til den monterte modellen til den første ordens forskjellige daglige loggprisserie. Vi vil nå forsøke å passe MA (q) modellen til SampP500. Man kan spørre hvorfor vi gjør dette hvis vi vet at det er lite sannsynlig å være en god passform. Dette er et godt spørsmål. Svaret er at vi trenger å se nøyaktig hvordan det ikke passer bra, fordi dette er den ultimate prosessen vi vil følge når vi kommer over mye mer sofistikerte modeller, som er potensielt vanskeligere å tolke. La oss begynne med å skaffe dataene og konvertere den til en første rekkefølge av forskjellige logaritmisk omformede daglige sluttpriser som i forrige artikkel: Vi skal nå passe en MA (1), MA (2) og MA (3) modell til serien, som vi gjorde over for AMZN. La oss starte med MA (1): Vi kan lage en oversikt over restene til denne monterte modellen: Den første signifikante toppen forekommer ved k2, men det er mange flere på k i. Dette er tydeligvis ikke en realisering av hvit støy, og derfor må vi avvise MA (1) modellen som en potensiell god passform for SampP500. Gjør situasjonen bedre med MA (2) Igjen, la vi gjøre en oversikt over restene til denne monterte MA (2) modellen: Mens toppen på k2 har forsvunnet (som vi forventer), er vi fortsatt igjen med de betydelige toppene ved mange lengre legger seg i restene. Igjen, vi finner MA (2) modellen ikke en god passform. Vi bør forvente, for MA (3) - modellen, å se mindre seriell korrelasjon på k3 enn for MA (2), men igjen bør vi også forvente at ingen reduksjon i ytterligere lag. Til slutt, la oss lage en oversikt over resterne av denne monterte MA (3) modellen: Dette er nettopp det vi ser i korrelogrammet til residualene. Derfor er MA (3), som med de andre modellene ovenfor, ikke en god passform for SampP500. Neste trinn Weve har nå undersøkt to store tidsseriemodeller i detalj, nemlig den autogressive rekkefølgen p, AR (p) og deretter Moving Average av ordre q, MA (q). Vi har sett at de begge er i stand til å forklare bort noen av autokorrelasjonen i residualene av førstegangs differensierte daglige loggpriser på aksjer og indekser, men volatilitetsklynging og langminnedeffekter vedvarer. Det er endelig tid til å gjøre oppmerksomheten til kombinasjonen av disse to modellene, nemlig det autoregressive flytende gjennomsnittet av orden p, q, ARMA (p, q) for å se om det vil forbedre situasjonen ytterligere. Imidlertid må vi vente til neste artikkel for en fullstendig diskusjon. Bare å komme i gang med kvantitative trading2.1 Moving Average Models (MA modeller) Tidsseriemodeller kjent som ARIMA-modeller kan inneholde autoregressive vilkår og / eller flytte gjennomsnittlige vilkår. I uke 1 lærte vi et autoregressivt uttrykk i en tidsseriemodell for variabelen x t er en forsinket verdi på x t. For eksempel er et lag 1 autoregressivt uttrykk x t-1 (multiplisert med en koeffisient). Denne leksjonen definerer glidende gjennomsnittlige vilkår. En glidende gjennomsnittlig term i en tidsseriemodell er en tidligere feil (multiplisert med en koeffisient). La (wt overset N (0, sigma2w)), noe som betyr at w t er identisk, uavhengig distribuert, hver med en normalfordeling med gjennomsnittlig 0 og samme varians. Den første ordre-flytende gjennomsnittsmodellen, betegnet med MA (1), er (xt mu wt theta1w) Den andre ordens bevegelige gjennomsnittsmodellen, betegnet med MA (2), er (xt mu wt theta1w theta2w) , betegnet med MA (q) er (xt mu wt theta1w theta2w punkter thetaqw) Merknad. Mange lærebøker og programvare definerer modellen med negative tegn før betingelsene. Dette endrer ikke de generelle teoretiske egenskapene til modellen, selv om den ikke flipper de algebraiske tegnene på estimerte koeffisientverdier og (unsquared) termer i formler for ACFer og avvik. Du må sjekke programvaren for å verifisere om negative eller positive tegn har blitt brukt for å skrive riktig estimert modell. R bruker positive tegn i sin underliggende modell, som vi gjør her. Teoretiske egenskaper av en tidsrekkefølge med en MA (1) modell Merk at den eneste ikke-nullverdien i teoretisk ACF er for lag 1. Alle andre autokorrelasjoner er 0. Således er en prøve-ACF med en signifikant autokorrelasjon bare ved lag 1 en indikator på en mulig MA (1) modell. For interesserte studenter er bevis på disse egenskapene et vedlegg til denne utdelingen. Eksempel 1 Anta at en MA (1) modell er x t10 w t .7 w t-1. hvor (wt overset N (0,1)). Dermed er koeffisienten 1 0,7. Den teoretiske ACF er gitt av Et plott av denne ACF følger. Plottet som nettopp er vist er den teoretiske ACF for en MA (1) med 1 0,7. I praksis vil en prøve vanligvis ikke gi et slikt klart mønster. Ved hjelp av R simulerte vi n 100 prøveverdier ved hjelp av modellen x t 10 w t .7 w t-1 hvor w t iid N (0,1). For denne simuleringen følger en tidsserie-plott av prøvedataene. Vi kan ikke fortelle mye fra denne plottet. Prøven ACF for de simulerte dataene følger. Vi ser en spike i lag 1 etterfulgt av generelt ikke signifikante verdier for lags forbi 1. Merk at prøven ACF ikke samsvarer med det teoretiske mønsteret til den underliggende MA (1), som er at alle autokorrelasjoner for lags forbi 1 vil være 0 . En annen prøve ville ha en litt annen prøve-ACF vist nedenfor, men vil trolig ha de samme brede funksjonene. Terapeutiske egenskaper av en tidsserie med en MA (2) modell For MA (2) modellen er teoretiske egenskaper følgende: Merk at de eneste ikke-nullverdiene i teoretisk ACF er for lags 1 og 2. Autokorrelasjoner for høyere lags er 0 . En ACF med signifikant autokorrelasjoner på lags 1 og 2, men ikke-signifikante autokorrelasjoner for høyere lags indikerer en mulig MA (2) modell. iid N (0,1). Koeffisientene er 1 0,5 og 2 0,3. Fordi dette er en MA (2), vil den teoretiske ACF bare ha null nullverdier ved lags 1 og 2. Verdier av de to ikke-null-autokorrelasjonene er Et plot av teoretisk ACF følger. Som nesten alltid er tilfellet, vil prøvedataene ikke oppføre seg så perfekt som teori. Vi simulerte n 150 utvalgsverdier for modellen x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. hvor det er N (0,1). Tidsserien av dataene følger. Som med tidsserien for MA (1) eksempeldata, kan du ikke fortelle mye om det. Prøven ACF for de simulerte dataene følger. Mønsteret er typisk for situasjoner der en MA (2) modell kan være nyttig. Det er to statistisk signifikante pigger på lags 1 og 2 etterfulgt av ikke-signifikante verdier for andre lags. Merk at på grunn av prøvetakingsfeil, samsvarte ACF ikke nøyaktig det teoretiske mønsteret. ACF for General MA (q) Modeller En egenskap av MA (q) - modeller generelt er at det finnes ikke-null autokorrelasjoner for de første q lagene og autokorrelasjonene 0 for alle lagene gt q. Ikke-entydighet av sammenhengen mellom verdier av 1 og (rho1) i MA (1) Modell. I MA (1) - modellen, for en verdi på 1. Den gjensidige 1 1 gir samme verdi. For eksempel, bruk 0,5 for 1. og bruk deretter 1 (0,5) 2 for 1. Du får (rho1) 0,4 i begge tilfeller. For å tilfredsstille en teoretisk begrensning kalt invertibility. vi begrenser MA (1) - modeller for å ha verdier med absolutt verdi mindre enn 1. I eksemplet som er gitt, vil 1 0,5 være en tillatelig parameterverdi, mens 1 10,5 2 ikke vil. Invertibility av MA modeller En MA-modell sies å være invertibel hvis den er algebraisk tilsvarer en konvergerende uendelig rekkefølge AR-modell. Ved konvergering mener vi at AR-koeffisientene reduseres til 0 da vi beveger oss tilbake i tid. Invertibility er en begrensning programmert i tidsserier programvare som brukes til å estimere koeffisientene av modeller med MA termer. Det er ikke noe vi ser etter i dataanalysen. Ytterligere opplysninger om inverterbarhetsbegrensningen for MA (1) - modeller er gitt i vedlegget. Avansert teorienotat. For en MA (q) modell med en spesifisert ACF, er det bare en inverterbar modell. Den nødvendige betingelsen for invertibilitet er at koeffisientene har verdier slik at ligningen 1- 1 y-. - q y q 0 har løsninger for y som faller utenfor enhetens sirkel. R-kode for eksemplene I eksempel 1, plotte vi den teoretiske ACF av modellen x t10 w t. 7w t-1. og deretter simulert n 150 verdier fra denne modellen og plottet prøve tidsseriene og prøven ACF for de simulerte dataene. R-kommandoene som ble brukt til å plotte den teoretiske ACF var: acfma1ARMAacf (mac (0,7), lag. max10) 10 lag av ACF for MA (1) med theta1 0,7 lags0: 10 skaper en variabel som heter lags som varierer fra 0 til 10. plot (lags, acfma1, xlimc (1,10), ylabr, typh, main ACF for MA (1) med theta1 0,7) abline (h0) legger til en horisontal akse på plottet. Den første kommandoen bestemmer ACF og lagrer den i en gjenstand kalt acfma1 (vårt valg av navn). Plot-kommandoen (den tredje kommandoen) plots lags versus ACF-verdiene for lags 1 til 10. ylab-parameteren merker y-aksen og hovedparameteren setter en tittel på plottet. For å se de numeriske verdiene til ACF, bruk bare kommandoen acfma1. Simuleringen og tomtene ble gjort med følgende kommandoer. xcarima. sim (n150, liste (mac (0.7))) Simulerer n 150 verdier fra MA (1) xxc10 legger til 10 for å gjøre gjennomsnitt 10. Simuleringsstandarder betyr 0. Plot (x, typeb, mainSimulated MA (1) data) acf (x, xlimc (1,10), mainACF for simulerte prøvedata) I eksempel 2 skisserte vi den teoretiske ACF av modellen xt 10 wt .5 w t-1 .3 w t-2. og deretter simulert n 150 verdier fra denne modellen og plottet prøve tidsseriene og prøven ACF for de simulerte dataene. R-kommandoene som ble brukt var acfma2ARMAacf (mac (0,5,0,3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 plot (lags, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typh, hoved ACF for MA (2) med theta1 0,5, theta20.3) abline (h0) xcarima. sim (n150, liste (mac (0,5, 0,3)) xxc10 plot (x, typeb, hoved Simulert MA (2) Serie) acf (x, xlimc (1,10) mainACF for simulert MA (2) Data) Vedlegg: Bevis på egenskaper av MA (1) For interesserte studenter, her er bevis for teoretiske egenskaper av MA (1) modellen. Varians: (tekst (xt) tekst (mu wt theta1 w) 0 tekst (wt) tekst (theta1w) sigma2w theta21sigma2w (1theta21) sigma2w) Når h 1, er det forrige uttrykket 1 w 2. For ethvert h 2, . Årsaken er at ved definisjon av uavhengighet av wt. E (w k w j) 0 for noen k j. Videre, fordi w t har middelverdien 0, E (w jw j) E (w j 2) w 2. For en tidsserie, Bruk dette resultatet for å få ACF gitt ovenfor. En inverterbar MA-modell er en som kan skrives som en uendelig rekkefølge AR-modell som konvergerer slik at AR-koeffisientene konvergerer til 0 mens vi beveger oss uendelig tilbake i tiden. Vel demonstrere invertibility for MA (1) modellen. Vi erstatter deretter forholdet (2) for w t-1 i ligning (1) (3) (zt wt theta1 (z-theta1w) wt theta1z-tet2w) Ved tid t-2. (2) blir vi da erstatter forholdet (4) for w t-2 i ligning (3) (zt wt theta1z-teteta21wt theta1z-teteta21 (z-theta1w) wt theta1z-theta12z theta31w) Hvis vi skulle fortsette uendelig), ville vi få den uendelige rekkefølgen AR-modellen (zt wt theta1z - theta21z theta31z - theta41z prikker) Merk imidlertid at hvis 1 1, vil koeffisientene som multipliserer lagene av z, øke (uendelig) i størrelse når vi beveger oss tilbake i tid. For å forhindre dette, trenger vi 1 lt1. Dette er betingelsen for en inverterbar MA (1) modell. Uendelig Order MA-modell I uke 3 ser du at en AR (1) - modell kan konverteres til en uendelig rekkefølge MA-modell: (xt - mu wt phi1w phi21w prikker phik1 w dots sum phij1w) Denne summeringen av tidligere hvite støybetingelser er kjent som årsakssammenheng av en AR (1). Med andre ord, x t er en spesiell type MA med et uendelig antall vilkår som går tilbake i tid. Dette kalles en uendelig ordre MA eller MA (). En endelig ordre MA er en uendelig orden AR og en hvilken som helst endelig rekkefølge AR er en uendelig rekkefølge MA. Tilbakekall i uke 1, bemerket vi at et krav til en stasjonær AR (1) er at 1 lt1. Lar beregne Var (x t) ved hjelp av årsakssammensetningen. Dette siste trinnet bruker et grunnfakta om geometrisk serie som krever (phi1lt1) ellers ser serien ut. Navigasjon